[洛谷日报#242]Johnson 全源最短路径算法学习笔记

Johnson 和 Floyd 一样，是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出。 ## 1 算法概述 任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法解决，时间复杂度是 $O(n^2m)$ 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 $O(n^3)$ 。 注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 $n$ 次 Dijkstra 算法，就可以在 $O(nm\log m)$ （本文中的 Dijkstra 采用 `priority_queue` 实现，下同）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。 但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负。 一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 $x$ ，从而让所有边的边权均非负。如果新图上起点到终点的最短路经过了 $k$ 条边，则将最短路减去 $kx$ 即可得到实际最短路。 但这样的方法是错误的。考虑下图：  $1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 5 \to 3 \to 2$，长度为 $-2$。 但假如我们把每条边的边权加上 $5$ 呢？  新图上 $1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 4 \to 2$ ，已经不是实际的最短路了。 Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权。 我们新建一个虚拟节点（在这里我们就设它的编号为 $0$ ）。从这个点向其他所有点连一条边权为 $0$ 的边。 接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 $0$ 号点到其他所有点的最短路，记为 $h_i$ 。 假如存在一条从 $u$ 点到 $v$ 点，边权为 $w$ 的边，则我们将该边的边权重新设置为 $w+h_u-h_v$ 。 接下来以每个点为起点，跑 $n$ 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。 容易看出，该算法的时间复杂度是 $O(nm\log m)$ 。 Q：那这么说，Dijkstra 也可以求出负权图（无负环）的单源最短路径了？ A：没错。但是预处理要跑一遍 Bellman-Ford，还不如直接用 Bellman-Ford 呢。 ## 2 正确性证明 为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢？ 在讨论这个问题之前，我们先讨论一个物理概念——势能。 诸如重力势能，电势能这样的势能都有一个特点，势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关，而与起点到终点所走的路径无关。 势能还有一个特点，势能的绝对值往往取决于设置的零势能点，但无论将零势能点设置在哪里，两点间势能的差值是一定的。 接下来回到正题。 在重新标记后的图上，从 $s$ 点到 $t$ 点的一条路径 $s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t$ 的长度表达式如下： $(w(s,p_1)+h_s-h_{p_1})+(w(p_1,p_2)+h_{p_1}-h_{p_2})+ \dots +(w(p_k,t)+h_{p_k}-h_t)$ 化简后得到： $w(s,p_1)+w(p_1,p_2)+ \dots +w(p_k,t)+h_s-h_t$ 无论我们从 $s$ 到 $t$ 走的是哪一条路径， $h_s-h_t$ 的值是不变的，这正与势能的性质相吻合！ 为了方便，下面我们就把 $h_i$ 称为 $i$ 点的势能。 上面的新图中 $s \to t$ 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 $s \to t$ 的最短路，后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值，因此原图上 $s \to t$ 的最短路与新图上 $s \to t$ 的最短路相对应。 到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。 根据三角形不等式，新图上任意一边 $(u,v)$ 上两点满足： $h_v \leq h_u + w(u,v)$ 。这条边重新标记后的边权为 $w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0$ 。这样我们证明了新图上的边权均非负。 至此，我们就证明了 Johnson 算法的正确性。 ## 3 参考代码 （被各位 D 惨了，所以把代码扔到 clang-format 里格式化了下 /wq） ```cpp #include <cstring> #include <iostream> #include <queue> #define INF 1e9 using namespace std; struct edge { int v, w, next; } e[10005]; struct node { int dis, id; bool operator<(const node& a) const { return dis > a.dis; } node(int d, int x) { dis = d, id = x; } }; int head[5005], vis[5005], t[5005]; int cnt, n, m; long long h[5005], dis[5005]; void addedge(int u, int v, int w) { e[++cnt].v = v; e[cnt].w = w; e[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt; } bool spfa(int s) { queue<int> q; memset(h, 63, sizeof(h)); h[s] = 0, vis[s] = 1; q.push(s); while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0; for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].v; if (h[v] > h[u] + e[i].w) { h[v] = h[u] + e[i].w; if (!vis[v]) { vis[v] = 1; q.push(v); t[v]++; if (t[v] == n + 1) return false; } } } } return true; } void dijkstra(int s) { priority_queue<node> q; for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF; memset(vis, 0, sizeof(vis)); dis[s] = 0; q.push(node(0, s)); while (!q.empty()) { int u = q.top().id; q.pop(); if (vis[u]) continue; vis[u] = 1; for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].v; if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) { dis[v] = dis[u] + e[i].w; if (!vis[v]) q.push(node(dis[v], v)); } } } return; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= m; i++) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; addedge(u, v, w); } for (int i = 1; i <= n; i++) addedge(0, i, 0); if (!spfa(0)) { cout << -1 << endl; return 0; } for (int u = 1; u <= n; u++) for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) e[i].w += h[u] - h[e[i].v]; for (int i = 1; i <= n; i++) { dijkstra(i); long long ans = 0; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (dis[j] == INF) ans += j * INF; else ans += j * (dis[j] + h[j] - h[i]); } cout << ans << endl; } return 0; } ``` ## 4 应用 虽然算法名告诉我们它可以用于求解全源最短路，但是实际场景中需要求解全源最短路的场合并不太多。 在费用流问题中，存在思想类似的 [Primal-Dual 原始对偶算法](https://oi-wiki.org/graph/flow/min-cost/#primal-dual)。它通过类似的方法将所有边的边权转为非负值，从而可以使用 Dijkstra 算法求出残量网络上的最短增广路。 ## Reference - [Johnson's algorithm - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson%27s_algorithm) - 《算法导论（中译本，第 3 版）》，25.3 用于稀疏图的 Johnson 算法，409-411 页